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专题02 功和能

一、单选题

1．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）如图所示，力F大小相等，物体运动的位移l与速度v方向相同，物体运动的位移大小l也相等，下列关于F做功的几种说法正确的是（　　）

A．因为有摩擦力存在，图甲中力F做的功不能用计算

B．图乙中力F做的功

C．图丙中力F做的功

D．图丁中力F做的功

【答案】D

【详解】A．力做的功为，与是否有摩擦力无关，故A错误；

B．力做的功为，其中为力与运动方向的夹角，故图乙中力F做的功；故B错误；

C．力做的功为，其中为力与运动方向的夹角，故图丙中力F做的功；故C错误；

D．力做的功为，其中为力与运动方向的夹角，故图丙中力F做的功；故D正确。

故选D。

2．（22-23高一下·江苏连云港·期末）如图所示，小物块与斜面体一起沿水平面向右做匀速直线运动。关于斜面体对物块做功，下列说法正确的是（　　）

A．支持力不做功

B．支持力做正功

C．摩擦力做正功

D．摩擦力与支持力做功代数和不为零

【答案】C

【详解】AB．小物块与斜面体一起沿水平面向右做匀速直线运动，物体处于平衡状态，受重力，垂直于斜面向上的支持力与沿斜面向上的静摩擦力作用，支持力方向与物体位移方向之间的夹角为钝角，可知支持力做负功，故AB错误；

C．根据上述可知，静摩擦力与物体位移方向之间的夹角为锐角，则摩擦力做正功，故C正确；

D．重力方向与物体位移方向垂直，重力不做功，根据动能定理可知摩擦力与支持力做功代数和为零，故D错误。

故选C。

3．（22-23高一下·江苏苏州·期末）如图所示，质量为m的某同学练习竖直弹跳，第一阶段，脚没有离地，经过一段时间重心上升h₁，人获得速度v₁，第二阶段，人整体形态保持不变，重心又上升了h₂，到达最高点，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　）

A．第一阶段地面支持力对人做的功为0 B．第一阶段地面支持力对人做的功为mgh₁

C．第二阶段，重力的功率为零 D．整个过程中人的机械能守恒

【答案】A

【详解】AB．第一阶段地面支持力的作用点的位移为零，所以支持力对人做的功为零，故A正确，B错误；

C．第二阶段，重力的功率为；由此可知，重力的功率不为零，故C错误；

D．在起跳过程中，储存在人体肌肉中的化学能转化为人体的机械能，所以人体机械能不守恒，故D错误。

故选A。

4．（22-23高一下·江苏连云港·期末）如图所示，A、B两球完全相同，同时从同一高度分别以、的初速度水平抛出。不计空气阻力，从A、B抛出后到落地的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．两球的重力做功不相等

B．两球的动能增量不相等

C．重力对两球做功的平均功率不相等

D．落地前瞬间重力对两球做功的功率相等

【答案】D

【详解】A．根据；由于A、B两球完全相同，同时从同一高度下落，则两球的重力做功相等，故A错误；

B．根据动能定理有结合上述可知，两球的动能增量相等，故B错误；

C．根据，解得；由于A、B两球完全相同，同时从同一高度下落，则重力对两球做功的平均功率相等，故C错误；

D．令落地速度v与竖直方向夹角为，则落地前瞬间重力的瞬时功率为；根据平抛运动速度分解有结合上述解得；由于A、B两球完全相同，同时从同一高度下落，则落地前瞬间重力对两球做功的功率相等，故D正确。

故选D。

5．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）如图所示，质量为2kg的物块静止在光滑的水平地面上。若以物块所在处为原点，以水平向右为正方向建立x轴，现木块在水平推力下运动，F随x轴坐标变化的情况如图所示，重力加速度g取10，下列描述正确的是（　　）

A．木块在0~4m内，做匀加速直线运动

B．木块在0~4m内，外力F做功为100J

C．运动到4m时，物体的末速度为25m/s

D．运动到4m时，力F的瞬时功率为200W

【答案】B

【详解】A．木块在0~4m内，力F逐渐变大，可知加速度逐渐变大，物块做变加速直线运动，选项A错误；

B．由图像可知，木块在0~4m内，外力F做功为；选项B正确；

C．根据动能定理；解得运动到4m时，物体的末速度为v=10m/s选项C错误；

D．运动到4m时，力F的瞬时功率为P=Fv=40×10W=400W选项D错误。

故选B。

6．（22-23高一下·江苏泰州·期末）在空中悬停的无人机因突然失去动力而下坠，在此过程中，其所受空气阻力与下坠速度成正比，则无人机下坠过程中（　　）

A．机械能守恒 B．机械能一直减小

C．机械能一直增加 D．所受合外力先做正功后做负功

【答案】B

【详解】A．无人机下坠运动中，受重力和空气阻力作用，因此机械能不守恒，A错误；

BC．在此过程中，一直受到空气阻力作用，因此机械能一直减小，B正确，C错误；

D．在此过程中，若空气阻力一直小于重力，则一直在加速运动，所受合外力一直做正功；若空气阻力先小于重力，后与重力大小相等，则先加速后匀速，所受合外力先做正功后做功是零，D错误。

故选B。

7．（22-23高一下·江苏淮安·期末）如图所示，一质量为M、长为L的木板B静止在光滑水平面上，其左端放有可视为质点的质量为m的滑块A，现用一水平恒力F作用在滑块上，使滑块从静止开始做匀加速直线运动。滑块与木板之间的摩擦力为，滑块滑到木板右端时，木板运动距离为x。关于此过程，下列说法中正确的是（　　）

A．滑块A克服摩擦力做的功为

B．滑块A与木板B摩擦产生的热量为

C．滑块A与木板B增加的机械能为

D．滑块A到达木板右端时，木板B具有的动能为

【答案】D

【详解】A．滑块A克服摩擦力做的功为；故A错误；

B．滑块A与木板B摩擦产生的热量为；故B错误；

C．滑块A与木板B增加的机械能为；故C错误；

D．根据动能定理，滑块A到达木板右端时，木板B具有的动能为；故D正确。

故选D。

8．（22-23高一下·江苏扬州·期末）如图甲所示，在某星球上有倾角为的光滑斜面，一轻质弹簧下端固定在斜面底部且弹簧处于原长．现将一质量为的小物块放在弹簧的上端，由静止开始释放，小物块的加速度与其位移间的关系如图乙所示．斜面一直保持静止状态，则（　　）

A．该星球重力加速度大小为

B．小物块的最大动能为

C．弹簧最大压缩量为

D．小物块下滑过程中，地面对斜面体的摩擦力一直向左

【答案】B

【详解】A．根据牛顿第二定律；整理得；可知；故A错误；

B．当物块加速度为零时，速度最大，根据牛顿第二定律；解得；根据动能定理有；故B正确；

C．设弹簧最大压缩量为，根据动能定理；解得；故C错误；

D．小物块下滑过程中，物块的加速度先沿斜面向下后沿斜面向上，将物块与斜面看成整体，整体水平方向的力等于摩擦力，故地面对斜面体的摩擦力先向左后向右，故D错误。

故选B。

9．（22-23高一下·江苏扬州·期末）以一定的初速度将一小球竖直直上抛，空气阻力的大小与速率成正比．在小球从抛出至上升到最高点过程中，下列关于小球所受合力的大小、速率随时间变化的关系，动能、重力势能随位移变化的关系图中可能正确的是（　　）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】C

【详解】A．根据牛顿第二定律可知小球受到的合外力；随着小球速度的减小，小球的合外力减小，当小球达到最高点，速度为零，小球合外力最小，等于重力，故A错误；

B．速度时间图象的斜率表示加速度，随着小球速度的减小，小球的合外力减小，小球的加速度减小，故B错误；

C．设小球初始的动能为，根据动能定理；整理得；；故C正确；

D．在小球从抛出至上升到最高点过程中的重力势能；故D错误。

故选C。

10．（22-23高一下·江苏南京·期末）一个物体在相互垂直的两个力F₁、F₂的作用下，沿光滑水平面运动一段距离，运动过程中物体克服F₁做功5J，F₂对物体做功12J，则物体的动能改变量为（　　）

A．-13J B．13J C．7J D．17J

【答案】C

【详解】设物体克服F₁做功为，F₂对物体做功为，根据动能定理有；代入数据解得；

故选C。

11．（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图所示，小物块沿光滑曲面从A点静止下滑。已知A点离地面高度为，B点离地面高度为，当地重力加速度为，以A点所在位置的水平面为参考平面。下列说法中正确的是（    ）

A．小物块在点的重力势能为

B．下滑到点过程中，小物块的机械能先增大后减小

C．小物块在点的机械能为0

D．下滑到点过程中，小物块重力势能的变化量为

【答案】C

【详解】AD．根据重力势能的定义式可得小物块在B点的重力势能为；重力势能的变化量为；故AD错误；

BC．小物块下滑到B点过程中，只有重力做功，小物块的机械守恒，初始时机械能为零，所以小物块在B点的机械能为零，故C正确，B错误；

故选C。

12．（22-23高一下·江苏扬州·期末）在自由式滑雪比赛中，运动员的轨迹如图所示，空气阻力可以忽略，雪地与滑雪板之间的摩擦力不可忽略。运动员（　　）

A．在点速度为零

B．从到过程中，重力势能全部转化为动能

C．从到过程中，减少的重力势能全部转化为动能

D．从到过程中，机械能一直减小

【答案】C

【详解】A．在点竖直速度为零，水平速度不为零，故A错误；

B．从到过程中，重力势能转化为动能和克服摩擦力产生的热量，故B错误；

C．从到过程中，空气阻力可以忽略，运动员机械能守恒，减少的重力势能全部转化为动能，故C正确；

D．从到过程中，空气阻力可以忽略，运动员机械能守恒，故D错误。

故选C。

三、解答题

13．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图所示，质量m₁=2.0kg的木板AB静止在水平面上，木板的左侧有一个固定的半径R=0.60m的四分之一圆弧形轨道，轨道末端的切线水平，轨道与木板靠在一起，且末端高度与木板高度相同。现将质量m₂=1.0kg可视为质点的小木块C，从圆弧形轨道顶端由静止释放，小木块C到达圆弧形轨道底端时的速度v₀=3.0m/s。之后小木块C滑上木板AB并带动木板AB运动，当小木块C离开木板AB右端B时，木板AB的速度v₁=0.5m/s，在小木块C在木板AB上滑行的过程中，小木块C与木板AB总共损失的动能△E=2.25J，小木块C与木板AB间的动摩擦因数μ=0.1，木板AB与地面间的摩擦及空气阻力可忽略不计。取g=10m/s²。 求

（1）小木块C运动到圆弧形轨道末端时所受支持力的大小；

（2）小木块C在圆弧形轨道上下滑过程中克服摩擦力所做的功；

（3）小木块C在木板AB上运动过程中，小木块C相对于地面的位移。

【答案】（1）F=25N；（2）克服摩擦力做功1.5J；（3）s₂=2.5m

【详解】（1）小物块C滑到最低点时，由牛顿第二定律得

得N=25N

（2）对小物块C由动能定理得

得

（3）木板AB由牛顿第二定律得

得；

得

小木块C与木板AB总共损失的动能

小木块C相对于地面的位移

解得

一、单选题

1．（22-23高一下·江苏盐城·期末）如图所示，轻质弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端与一个质量为m的滑块接触，弹簧处于原长。现用水平力F缓慢地将滑块向左压至某位置静止，此过程中外力F做功为W₁，滑块克服摩擦力做功为W₂，撤去F后滑块向右运动，和弹簧分离后继续向右运动一段距离，滑块所受摩擦力大小恒定，则（　　）

A．此过程中，弹簧最大弹性势能为W₁+W₂

B．撤去F后，滑块和弹簧组成的系统机械能守恒

C．在刚与弹簧分离时，滑块的动能为W₁-2W₂

D．在刚与弹簧分离时，滑块的加速度为零

【答案】C

【详解】A．由能量关系可知，弹簧的最大弹性势能为W₁-W₂，故A错误；

B．撤去F后，由于有摩擦力做功，所以滑块和弹簧组成的系统机械能减小，故B错误；

D．滑块与弹簧分离时弹簧处于原长状态，整个过程中摩擦力做功为2W₂，则根据动能定理，滑块与弹簧分离时的动能为W₁-2W₂，故C正确；

D．滑块与弹簧分离时，弹力为零，但是有摩擦力，则此时滑块的加速度不为零，故D错误。

故选C。

2．（22-23高一下·江苏常州·期末）如图所示，竖直固定放置的滑轨左边是光滑斜面，右边是四分之一光滑的圆弧轨道，轨道半径为R，圆弧底端切线水平，甲、乙两小球从等高的滑轨顶端由静止滑下，两小球都可以看做质点且质量不相等。则（   ）

A．甲、乙两小球到达底端时速度相同

B．甲、乙两小球到达底端时动能相同

C．甲、乙两小球由静止运动到底端的过程中重力做功相同

D．甲、乙两小球到达底端时，乙小球重力做功的瞬时功率小

【答案】D

【详解】A．根据动能定理得；解得；可知甲、乙两小球到达底端时的速度大小相等，方向不同，故A错误；

B．两小球到达底端时的动能为；由于甲、乙两小球质量不相等，故甲、乙两小球到达底端时动能不相同，故B错误；

C．两物块运动到底端的过程中，下落的高度相同，根据；由于甲、乙两小球质量不相等，故甲、乙两小球由静止运动到底端的过程中重力做功不相同，故C错误；

D．两物块到达底端的速度大小相等，乙球重力与速度方向垂直，重力做功的瞬时功率为零，而甲球重力做功的瞬时功率不为零，则甲、乙两小球到达底端时，乙小球重力做功的瞬时功率小，故D正确。

故选D。

3．（22-23高一下·江苏盐城·期末）一个小球在真空中做自由落体运动，另一个同样的小球在黏性较大的液体中由静止开始下落，如图所示。它们都由高度为的地方下落到高度为的地方。在这两种情况下（　　）

A．重力做功不相等 B．重力做功的功率相等

C．重力势能的变化量相等 D．到达高度时的动能相等

【答案】C

【详解】A．因同样两小球下落的高度相同，所以重力做的功相等，A错误；

B．在黏性较大的液体中的小球下落中，除受重力作用外还受阻力作用，因此下落相同高度所用时间比在真空中小球所用时间较长，由功率公式，可知重力做功的功率不相等，B错误；

C．因重力做的功相等，所以重力势能的变化量相等，C正确；

D．在真空中小球，由高度为的地方下落到高度为的地方，减少的重力势能都转化为动能，在黏性较大的液体中的小球除重力做功外，还有阻力做功，因此重力势能的减少一部分转化为动能，一分部分转化为内能，所以到达高度时的动能不相等，D错误。

故选C。

4．（22-23高一下·江苏连云港·期末）如图所示，有一光滑轨道，部分竖直，部分水平，部分是半径为的四分之一圆弧，其中与、相切。质量均为的小球、（可视为质点）固定在长为的竖直轻杆两端，开始时球与A点接触且轻杆竖直，由静止释放两球使其沿轨道下滑，重力加速度为，下列说法正确的是（　　）

A．球下滑过程中机械能减小

B．球下滑过程中机械能保持不变

C．、球都滑到水平轨道上时速度大小均为

D．从释放、球到两球均滑到水平轨道过程中，轻杆对球做功为

【答案】C

【详解】C．两个小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，故有

解得；C正确；

D．b球在滑落过程中，设杆对b球做功为W，根据动能定理可得

联立解得

对a球由动能定理可得

解得杆对a球做功为；D错误。

AB．结合D解析可知，杆对球做正功，对b球做负功，故下滑过程中球机械能增大，b球机械能减小，单个球来看，机械能均不守恒，AB错误；

故选C。

5．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图所示，a、b两个小球穿在一根与水平面成角的光滑固定杆上，并用一细绳跨过光滑定滑轮相连。初始时两球静止，Oa绳与杆的夹角也为，Ob绳沿竖直方向。现沿杆缓慢向上拉动b球，至Ob与杆垂直后静止释放，则（    ）

A．a球质量是b球的2倍

B．b球返回到初始位置时，其速度是a球速度的倍

C．b球返回到初始位置时，其动能是a球动能的倍

D．从释放至b球返回到初始位置，b球重力势能减小量小于b球返回初始位置时的动能

【答案】C

【详解】分别对a、b小球受力分析，如图所示

A．根据共点力平衡条件可得，

解得；即；故A错误；

D．b球回到初始位置时，对b；由于绳子拉力对b球做负功；所以；即；D错误；

BC．b球回到初始位置时，连接a、b两个小球的绳子与杆的夹角分别为，；此时两球的动能为，；又

代入计算可得；B错误，C正确。

故选C。

6．（22-23高一下·江苏泰州·期末）如图甲所示是一打桩机的简易模型。质量m = 1kg的物体在拉力F作用下从与钉子接触处由静止开始运动，上升一段高度后撤去F，到最高点后自由下落，撞击钉子，将钉子打入4cm深度，且物体不再被弹起，若以初始状态物体与钉子接触处为零势能点，物体上升过程中，机械能E与上升高度h的关系图像如图乙所示。撞击前不计所有摩擦，钉子质量忽略不计，重力加速度g取10m/s²。则（   ）

A．物体上升过程中的加速度为14m/s² B．物体上升过程中的最大速度为4m/s

C．钉子受到的平均阻力为700N D．物体上升到0.5m高度处拉力F的瞬时功率为8W

【答案】B

【详解】AB．由题意可知，上升2m过程中，F做正功，物体加速上升，机械能增加，之后撤去F，机械能保持不变，物体减速上升，可得上升2m时的机械能为

代入数据解得物体上升过程中的最大速度为

根据匀变速直线运动的速度位移公式得

解得物体加速上升过程的加速度为；A错误，B正确；

C．根据机械能守恒定律可得，物体与钉子接触时的动能为28J，将钉子打入4cm深度过程，根据能量守恒定律可得；代入数据解得；C错误；

D．根据速度位移公式得；解得物体上升到0.5m高度处的速度为

根据牛顿第二定律得；解得

则拉力F的瞬时功率为；D错误。

故选B。

7．（22-23高一下·江苏南通·期末）如图所示，小物块A下端与固定在地面上的轻弹簧相连，上端与绕过定滑轮的细线和小物块B相连，A、B质量相等，整个装置处于静止状态，现将B向下拉至地面由静止释放，运动过程中A、B速度大小始终相等，弹簧始终在弹性限度内，不计摩擦，则（　　）

A．B不能再次到达地面

B．B上升过程中，B的机械能先增大后减小

C．弹簧处于原长时，A、B组成的系统总动能最小

D．A在最高点和最低点时，弹簧的弹性势能相等

【答案】D

【详解】A．依题意，运动过程中A、B速度大小始终相等，弹簧始终在弹性限度内，可知系统中只涉及弹簧的弹性势能和两物体的机械能之间的相互转化，总的机械能守恒。在运动过程中B可能再次到达地面，故A错误；

B．B上升过程中，细线拉力做正功，B的机械能增大，故B错误；

C．弹簧处于原长时，A、B的加速度为零，组成的系统总动能最大，故C错误；

D．A在最高点和最低点时，两物块的动能均为零，两物块的重力势能之和相等，由系统机械能守恒可知这两个状态时弹簧的弹性势能相等，故D正确。

故选D。

8．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图所示，传送带与水平地面的夹角θ=37°，A、B两端间距L=16m，传送带以速度v=10m/s沿顺时针方向运动。物体m=1kg，无初速度地放置于A端，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g=10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）。则下列说法中正确的是（　　）

A．物体由A运动到B端的时间为2s

B．物体放上传送带后就随传送带做匀速运动

C．物块自放上传送带后，传送带对它的摩擦力一直沿传送带向下

D．物体与传送带之间由于摩擦而产生的热量为14J

【答案】A

【详解】AB．物体轻放在A端，在传送带的作用下做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得mgsin37°+μmgcos37°=ma_1。解得a₁=10m/s^2。经过

与传送带共速，运动的位移为。因为mgsin37°>μmgcos37°

所以物体继续做匀加速直线运动，加速度为mgsin37°﹣μmgcos37°=ma₂

解得a₂=2m/s^2。继续向下匀加速，满足。解得t₂=1s

物体由A运动到B端的时间为t=t₁+t₂=2s；故A正确，B错误；

C．根据上述分析可知，物体前1s内，物体相对传送带沿传送带向上运动，所受的摩擦力沿传送带向下，后1s内，物体速度大于传送带速度，所以摩擦力沿传送带向上，故C错误；

D．物体前1s内，物块相对传送带的路程为s₁=vt₁﹣x₁=10×1m﹣5m=5m

后1s内，物体相对传送带的路程为s₂=L﹣x₁﹣vt₂=16m﹣5m﹣10×1m=1m

则物体与传送带之间由于摩擦而产生的热量为Q=μmgcos37°（s₁+s₂）=0.5×1×10×0.8×（5+1）J=24J

故D错误。

故选A。

9．（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图所示，轻弹簧劲度系数为，一端固定于挡板C上，另一端与质量为的物块A相连接，物块A处于静止状态。跨过滑轮的细绳，一端与物块A连接，另一端连接挂钩，挂钩上挂一个质量也为的物块B后，物块A、B由静止开始运动。细绳与斜面始终平行，B始终未接触地面，斜面足够长，倾角为，重力加速度为，滑轮、细绳和挂钩质量及一切摩擦都不计。下列说法正确的是（    ）

A．物块B刚挂上时，B的加速度为

B．物块A的最大速度为

C．物块A从静止上升到最高点过程中，弹性势能的增加量大于物块B的重力势能的减少量

D．物块A从静止上升到速度最大的过程中，绳对A做的功等于A的机械能增加量

【答案】D

【详解】A．A静止时弹簧弹力为

根据牛顿第二定律

物块B刚挂上时，B的加速度为；A错误；

B．当A、B组成的系统受力平衡值，速度最大，则；得

此时，弹簧伸长量与A静止时压缩量相等。即弹性势能相等。根据机械能守恒；物块A的最大速度为；B错误；

C．物块A从静止上升到最高点过程中，两物块速度为零，弹性势能的增加量与A重力势能的增加量之和等于B重力势能减少量，则弹性势能的增加量小于物块B的重力势能的减少量，C错误；

D．物块A从静止上升到速度最大的过程中，弹簧对A做功为零，则绳对A做的功等于A的机械能增加量，D正确。

故选D。

三、解答题

10．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）如图所示，在光滑水平面AB上，质量为的物块将左端固定的弹簧压缩至A点，物块由静止释放。在离开弹簧后，物块以的速度滑上水平传送带。传送带BC长度，C点距地面高，滑块可视为质点。滑块与传送带间的动摩擦因数，g取10m/s²，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦与空气阻力。求：

（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能E_p；

（2）若传送带以的速度逆时针转动，则物块从滑上传送带到第一次离开传送带时克服摩擦力所做功W；

（3）若传送带顺时针转动，速度大小可在4m/s<v₂<8m/s之间调节，物块落在地面时的动能（结果可以含有）。

【答案】（1）16J；（2）7J；（3）见解析

【详解】（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能

（2）物体在传送带上做减速运动的加速度大小

则速度减为零时向右滑行的距离

然后物体向左加速运动，直到与传送带共速，最终以的速度离开传送带，则该过程中克服摩擦力做功

（3）若传送带顺时针转动，滑块2恰好在传送带上一直加速，设获得的末速度为v₃，由运动学公式得；解得

当传送带的速度6m/s≤v₂＜8m/s时，物块落在地面时的动能

当传送带的速度4m/s<v₂＜6m/s时，物块离开传送带时的速度为v₂，则物块落在地面时的动能

11．（22-23高一下·江苏常州·期末）如图所示，让摆球从C位置由静止开始摆下，摆到最低点D处，摆线刚好被拉断，小球在粗糙的水平面上由D点向右做匀减速运动，到达A孔进入半径R＝0.3m的竖直放置的光滑圆弧轨道，当摆球进入圆轨道立即关闭A孔。已知摆线长L＝2m，θ＝53°，小球质量为m＝0.5kg，D点与A孔的水平距离s＝2m，g取10m/s²。（cos 53°＝0.6）

（1） 小球从C运动到D的过程中重力做的功；

（2） 摆线能承受的最大拉力；

（3） 要使摆球能做完整的圆周运动，摆球与平面间的动摩擦因数μ需要满足的条件。

【答案】（1）；（2）；（3）

【详解】（1）摆球由到过程

解得

（2）当摆球由到运动，根据动能定理有

在点，由牛顿第二定律可得

解得

（3）若摆球能过圆轨道的最高点则不会脱离轨道，当摆球恰好到达最高点时，在圆周的最高点，由牛顿第二定律可得

由动能定理可得

解得

综上所述，动摩擦因数的范围

12．（22-23高一下·江苏泰州·期末）如图所示，带底座的圆形轨道静置于水平地面上，两个完全相同可视为质点、质量均为m的小球，静止在轨道最低位置。两球中间夹有一压缩的微型轻弹簧，两小球之间距离可忽略不计，且与弹簧不栓接。现同时释放两个小球，弹簧完全弹开后，两球沿轨道内壁运动刚好能到达轨道最高点。已知圆形轨道质量为1.5m，半径为R，重力加速度为g。小球沿轨道上升过程中，轨道装置始终静止不动。求：

（1）弹簧压缩时的弹性势能；

（2）小球与圆心的连线和竖直方向夹角多大时，圆形轨道对地面的压力刚好为零；

（3）小球克服重力做功的功率最大时，小球在环上的位置（用小球与圆心连线和竖直方向之间夹角的三角函数值表示）。

【答案】（1）；（2）60°；（3）

【详解】（1）小球刚好能到达轨道最高点，由牛顿第二定律可得

解得     

由机械能守恒定律，可得弹簧压缩时的弹性势能

（2）设小球与圆心的连线和竖直方向夹角为θ时，即在A点时，圆形轨道对地面的压力刚好是零，如图所示，小球由最低点到A点时，由机械能守恒定律可得

解得

由牛顿第二定律可得

轨道对小球的弹力

由牛顿第三定律可知，小球对轨道的弹力大小为F _N＇=F_N，由平衡条件可得

整理可得

解得；

（3）设小球克服重力做功的功率最大时，小球在轨道上的B点，小球与圆心连线和竖直方向之间夹角为α，同理，由解析（2）可得

则有

整理可得

设，则有

对上式求导后可得，设

解得

（不符合题意，舍去）

可得 

即时，功率P有最大值。

13．（22-23高一下·江苏镇江·期末）如图所示，两个质量均为m的小环A、B用长为R的轻杆连接，两小环可以在半径为R，固定在竖直平面内的光滑圆环上滑动，开始时将A固定在圆环的最高点。求：

（1）轻杆对B的拉力大小；

（2）将A释放后，当A滑到最低点时，A小环的速度大小；

（3）从A释放后到杆中弹力第一次为零时，杆对B环所做的功。

【答案】（1）mg；（2）；（3）

【详解】（1）由题意可知，轻杆对B的拉力F_T和圆环对B的支持力F_N与竖直方向的夹角均为，根据平衡条件，水平方向有

竖直方向有

解得

（2）从释放到A滑到最低点的过程中，如图所示  

A、B和轻杆组成的系统机械能守恒，有；

解得

（3）由分析知，当轻杆处于竖直方向时，杆上弹力为零，如图所示

由系统机械能守恒得；

从释放到轻杆第一次处于竖直方向的过程中，对B，由动能定理可得

解得