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  机械能守恒定律（课时2）【四大题型】

【人教版2019】

【题型1  几种典型的功能关系】

【题型2  摩擦力做功与热量产生】

【题型3  汽车恒定功率启动】

【题型4  汽车恒定加速度启动】 8

知识点1：几种典型的功能关系

【题型1  几种典型的功能关系】

【例1】 质量为m的物体在升降机中，随升降机竖直向上以大小为g(g为重力加速度)的加速度做匀减速直线运动，上升高度为h，在此过程中，物体的机械能(　　)

A.增加mgh B.减少mgh

C.增加mgh D.减少mgh

【答案】　C

【详解】　物体减速上升，加速度方向向下，由牛顿第二定律可得mg-F=ma，解得F=mg，除重力外的其他力所做的功等于机械能的变化量，力F做正功，机械能增加，增加量为ΔE=Fh=mgh，故选C。

【变式1-1】　(多选)(2023·临汾市高一期末)如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A点的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿圆弧轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力，已知AP=2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中(　　)

A.重力做功mgR

B.机械能减少mgR

C.合外力做功mgR

D.克服摩擦力做功mgR

【答案】　AB

【详解】　P、B高度差为R，重力做功为mgR，A正确；到达最高点B时恰好对轨道没有压力，则mg=m得v_B=，所以合外力做功W=m=mgR，C错误；以OA所在平面为参考平面，初始机械能为E₁=2mgR，末状态机械能为E₂=mgR+m，机械能变化量为ΔE=E₂-E₁=-mgR，则W_克f=mgR，B正确，D错误。

【变式1-2】 某地平均风速为5 m/s，已知空气密度是1.2 kg/m³，有一风车，它的风叶转动时可形成半径为12 m的圆面．如果这个风车能将圆面内10%的气流动能转变为电能，则该风车带动的发电机功率是多大？

【答案】　3.4 kW

【详解】　在t时间内作用于风车的气流质量m＝πr²v·tρ

这些气流的动能为2(1)mv²，

转变成的电能E＝2(1)mv²×10%

所以风车带动发电机的功率为P＝t(E)＝2(1)πr²ρv³×10%

代入数据得P＝3.4 kW.

【变式1-3】从光滑斜面上滚下的物体，最后停止在粗糙的水平面上，说明  (　　)

A．在斜面上滚动时，只有动能和势能的相互转化

B．在斜面上滚动时，有部分势能转化为内能

C．在水平面上滚动时，总能量正在消失

D．在水平面上滚动时，机械能转化为内能，总能量守恒

【答案】　AD

【详解】　在斜面上滚动时，只有重力做功，只发生动能和势能的相互转化；在水平面上滚动时，有摩擦力做功，机械能转化为内能，总能量是守恒的．

【题型2  摩擦力做功与热量产生】

【例2】电动机带动水平传送带以速度v匀速传动，一质量为m的小木块由静止轻放在传送带上，若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，如图所示．传送带足够长，当小木块与传送带相对静止时．求：

(1)小木块的位移；

(2)传送带转过的路程；

(3)小木块获得的动能；

(4)摩擦过程中产生的内能；

(5)因传动物体电动机多消耗的电能．

【答案】　(1)2μg(v2)　(2)μg(v2)　(3)2(1)mv²　(4)2(1)mv²  (5)mv²

【详解】　(1)由牛顿第二定律：μmg＝ma，得a＝μg

由公式v＝at得t＝μg(v)，小木块的位移s₁＝2(v)t＝2μg(v2)

(2)传送带始终匀速运动，路程s₂＝vt＝μg(v2)

(3)小木块获得的动能E_k＝2(1)mv²

(4)小木块在和传送带达到共同速度的过程中，相对传送带移动的距离

s_相对＝s₂－s₁＝2μg(v2)，产生的内能Q＝μmg·s_相对＝2(1)mv²

(5)根据能量守恒定律电动机多消耗电能

ΔE＝Q＋2(1)mv²＝mv²

【变式2-1】如图，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上．质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端．现在一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为f.经过时间t，小车运动的位移为s，物块刚好滑到小车的最右端(　　)

A．此时物块的动能为(F－f)(s＋l)

B．这一过程中，物块对小车所做的功为f(s＋l)

C．这一过程中，物块和小车增加的机械能为Fs

D．这一过程中，物块和小车产生的内能为fl

【答案】　AD

【详解】　对物块分析，物块的位移为s＋l，根据动能定理得，(F－f)(s＋l)＝E_k－0，所以物块到达小车最右端时具有的动能为(F－f)(s＋l)，故A正确；对小车分析，小车的位移为s，所以物块对小车所做的功为fs，故B错误；物块与小车增加的内能Q＝fx_相对＝fl，故D正确；根据能量守恒得，外力F做的功转化为小车和物块的机械能和摩擦产生的内能，则有：F(l＋s)＝ΔE＋Q，则ΔE＝F(l＋s)－fl，故C错误．故选AD.

【变式2-2】如图，质量为M、长为l₀的木板静止放置于光滑水平地面上，一质量为m的物块(可视为质点)以速度v₀从左端冲上木板，物块和木板间的滑动摩擦力大小为F_f。当物块滑至木板最右端时，两者恰好达到共同速度v，且此时木板位移为l。

(1)此过程中物块的位移大小为多少？对物块列出动能定理表达式。

(2)对木板列出动能定理的表达式。

(3)一对摩擦力对系统做的功为多少？(用F_f、l₀表示)；系统动能变化量为多少？(用M、m、v₀、v表示)；系统摩擦力做功的过程中产生的热量是多少？(用M、m、v₀、v表示)，产生的热量与一对滑动摩擦力对系统做功的大小相等吗？这说明什么？

【答案】　(1)物块位移大小x=l+l₀，由动能定理

-F_f(l+l₀)=mv²-m ①

(2)F_fl=Mv² ②

(3)由①②式相加

-F_f(l+l₀)+F_fl=mv²+Mv²-m ③

即-F_fl₀=mv²+Mv²-m ④

一对摩擦力对系统做功为-F_fl₀

系统动能变化量为mv²+Mv²-m

系统摩擦力做功过程中产生的热量

Q=m-(mv²+Mv²)

由④式知，摩擦力做功产生的热量与一对滑动摩擦力对系统做的功大小相等，故有F_fl_相对=Q(l_相对指相对路程)。

【变式2-3】足够长的传送带以速率v匀速转动，一质量为m的小物块A由静止轻放于传送带上，如图所示，当小物块与传送带相对静止时，产生的内能为(　　)

A.mv² B.2mv²

C.mv² D.mv²

【答案】　D

【详解】　物块A轻放于传送带上后立即做匀加速直线运动，加速度a==μg，匀加速过程前进的距离x₁==，匀加速运动时间t==，该时间内传送带前进的距离x₂=vt=v·=，所以物块相对传送带滑动的距离Δx=x₂-x₁=，故产生的内能Q=μmg·Δx=μmg·=mv²，故D正确。

知识点2：机车启动问题中几个物理量的求法

分析机车启动问题，要抓住两个核心公式：牛顿第二定律方程F-F_f=ma，联系着力和加速度；P=Fv，联系着力和速度。结合v-t图像进行分析。

(1)机车的最大速度v_m的求法

机车最终匀速前进时速度最大，此时a=0，牵引力F大小等于阻力大小F_f，故v_m==。

(2)匀加速启动持续时间的求法

牵引力F=ma+F_f，匀加速阶段的末速度v_m'=，时间t=。

(3)瞬时加速度的求法

根据F=求出牵引力，则加速度a=。

【题型3  汽车恒定功率启动】

【例3】 一列火车总质量m=500 t，列车发动机的额定功率P=1.2×10⁶ W，在水平轨道上行驶时，轨道对列车的阻力F_f是车重力的0.01倍，g=10 m/s²，求：

(1)列车在水平轨道上行驶的最大速度；

(2)在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v₁=10 m/s时，列车的瞬时加速度大小a₁；

(3)在水平轨道上以36 km/h的速度匀速行驶时，发动机的实际功率P'；

(4)若火车从静止开始，额定功率保持不变启动时，当加速度a=0.5 m/s²时，列车的速度为多大。

【答案】　(1)24 m/s　(2)0.14 m/s²　(3)5×10⁵ W　(4)4 m/s

【详解】　(1)列车以额定功率工作，当牵引力等于阻力，即F=F_f=kmg时列车的加速度为零，速度最大，则v_m===24 m/s

(2)v₁=10 m/s<v_m，此时列车做加速运动，F₁==1.2×10⁵ N，由牛顿第二定律可知F₁-F_f=ma₁

解得a₁=0.14 m/s²

(3)当v=36 km/h=10 m/s时，列车匀速运动，F'=F_f，则发动机的实际功率P'=F_fv=5×10⁵ W

(4)根据牛顿第二定律得，牵引力F″=F_f+ma=3×10⁵ N，所以额定功率下的速度大小为v'==4 m/s。

【变式3-1】(多选)(2023·广州市高一期中)一辆汽车在平直公路上由静止开始启动，发动机的输出功率与汽车速度大小的关系如图所示，当汽车速度达到v₀后，发动机的功率保持不变，汽车能达到的最大速度为2v₀。已知运动过程中汽车所受阻力恒为F_f，汽车的质量为m，下列说法正确的是(　　)

A.汽车的加速度先减小后不变

B.发动机的额定功率为P=2F_fv₀

C.汽车速度为1.5v₀时，加速度为

D.汽车速度从0达到v₀所用时间t=

【答案】　BCD

【详解】　由P=Fv，汽车速度从0到v₀，功率均匀增大，则牵引力不变；当功率达到额定功率后保持不变，则速度增大，牵引力减小，由F-F_f=ma可知，加速度先不变后减小，故A错误；当汽车达到最大速度时，牵引力等于阻力，则P=2F_fv₀，故B正确；汽车速度为1.5v₀时，汽车保持额定功率不变，由P=F'v，F'-F_f=ma'，解得加速度为a'=，故C正确；汽车速度从0达到v₀的时间是t=，又a===，解得t=，故D正确。

【变式3-2】(2023·盐城市高一期中)质量为2吨的汽车，发动机的额定功率为30 kW，在水平路面上能以72 km/h的最大速度匀速行驶。则汽车在该路面行驶时所受阻力为(　　)

A．1．5×10³ N B.2.5×10³ N

C.3×10³ N D.5×10³ N

【答案】　A

【详解】　当汽车以72 km/h的最大速度匀速行驶时，牵引力F等于阻力F_f，有P=Fv_max=F_fv_max，代入数据解得F_f=1.5×10³ N，故选A。

【变式3-3】质量为m的汽车启动后沿平直路面行驶，发动机的功率恒为P，行驶过程中受到的阻力大小一定。当汽车速度为v时，汽车做匀速运动；当汽车速度为时，汽车的瞬时加速度大小为(　　)

A.　B.　C.　D.

【答案】　C

【详解】　当汽车速度为v时，汽车做匀速运动，有F=F_f，根据功率与速度的关系得P=Fv，汽车受到的阻力大小为F_f=F=，当车速为时，根据功率与速度的关系得P=F₁·，则F₁=，根据牛顿第二定律得F₁-F_f=ma，解得汽车的瞬时加速度大小为a=，故选C。

【题型4  汽车恒定加速度启动】

【例4】若一汽车在水平路面上以恒定加速度开始启动，额定功率为P_额，运动过程中受到的阻力大小为F_f。

(1)汽车匀加速运动过程中，牵引力如何变化？汽车的实际功率如何变化？

(2)当汽车的实际功率达到额定功率P_额时，汽车的速度是多大？此时汽车的速度是否为最大速度？之后功率将如何变化？

(3)分析整个运动过程并画出汽车运动的v-t图像。

(4)画出整个过程中汽车运动的P-t图像。

(5)求出整个过程中汽车的最大速度。

【答案】　(1)由题意知a不变，F_f不变，由F-F_f=ma知，F也不变，由P=Fv知，此过程汽车的实际功率P增大。

(2)刚达到额定功率时，F-F_f=ma

P_额=Fv₁，得v₁=，此时速度不是最大速度。

此后汽车功率不变，速度继续增大，牵引力减小，做加速度减小的加速运动，最终a=0时做匀速直线运动。

(3)如图所示：

汽车先做匀加速直线运动，当功率达到额定功率后做加速度减小的加速运动，最终做匀速直线运动。

(4)如图所示：

(5)v_m=。

【变式4-1】(2023·宁德市高一期中)某公司对研制的某型号汽车进行测试，汽车总质量m=2×10³ kg，发动机的额定功率P₀=120 kW。测试过程中汽车在平直路段行驶的最大速度可达v_m=40 m/s，现在汽车在平直测试路段由静止开始以a=2.5 m/s²的加速度做匀加速直线运动，若汽车运动过程中所受的阻力F_f恒定。求：

(1)汽车所受阻力F_f的大小；

(2)汽车做匀加速运动持续的时间t₁；

(3)汽车开始运动后，第4 s末的瞬时功率P。

【答案】　(1)3 000 N　(2)6 s　(3)8×10⁴ W

【详解】　(1)当速度最大时牵引力等于阻力，有F_f== N=3 000 N

(2)做匀加速直线运动时，根据牛顿第二定律有F-F_f=ma

则牵引力F=ma+F_f=2×10³×2.5 N+3 000 N=8 000 N

所以匀加速运动的最大速度为v==15 m/s，

匀加速运动的时间为t₁== s=6 s

(3)4 s末时汽车还处在匀加速运动状态，所以第4 s末汽车速度v₂=at₂=10 m/s，

第4 s末汽车的瞬时功率P=Fv₂=8 000×10 W=8×10⁴ W。

【变式4-2】(多选)(2023·绵阳市高一期中)电动汽车能实现更精确的运动控制，有一电动汽车由静止启动并沿直线运动，其速度与时间图像如图所示，0到t₁段图像为倾斜直线，t₁到t₂段图像为曲线，t₂时刻以后的图像为与时间轴平行的直线，则下列选项中正确的是(　　)

A.0~t₁内，牵引力的功率保持不变

B.t₁~t₂内，牵引力的功率可能保持不变

C.t₁~t₂内，牵引力大小保持不变

D.t₂时刻起，牵引力与阻力大小相等

【答案】　BD

【详解】　0到t₁段图像为倾斜直线，则汽车做匀加速直线运动，牵引力不变，由P=Fv可知，牵引力的功率增大，故A错误；

t₁~t₂内，加速度减小，则牵引力减小，而速度在增加，所以牵引力的功率可能保持不变，故B正确，C错误；

t₂时刻起，汽车做匀速直线运动，牵引力与阻力平衡，保持不变，故D正确。

【变式4-3】(2023·淮安市高一期中)质量为m的汽车，其发动机额定功率为P，当它开上一个倾角为θ的斜坡时，受到的摩擦阻力为车重力的k倍，则车的最大速度为(重力加速度为g)(　　)

A. B.

C. D.

【答案】　D

【详解】　当汽车的牵引力等于其所受到的阻力时，此时合外力为零，汽车的速度达到最大值，由于汽车是沿斜坡向上行驶的，对汽车受力分析可知，汽车的牵引力F=F_f+mgsin θ=kmg+mgsin θ=mg(k+sin θ)，由此可得汽车的最大速度为v_m==，故选D。